iOSの保存の仕組みが違う理由
iOSにはAndroidのような共通のダウンロードフォルダがありません。Safariは保存したファイルを「ファイル」アプリ、通常はiCloud Drive内のダウンロードに置きます。動画がカメラロールに入るのは、明示的に「写真」へ保存したときだけです。この一手間で戸惑う人が多いので、以下の手順では両方の保存先を説明します。
Appleのこの方式の利点は、写真ライブラリへのアクセスを必要とするものが何もないことです。ファイルを保存するのはSafari自身なので、あなたの写真を読み取る権限を持つ第三者のアプリが間に入りません。